对 ∏sin(kπ/n) 的小小探索

标题的表达很不科学，只是为了美观……严格的表达如下：sin(π/n) sin(2π/n) sin(3π/n) … sin((n-1)π/n)   (*)

最初接触这种问题是在万老师教三角函数的时候，晚上上课的时候讲了这样一道题：

求值：sin(π/7) sin(2π/7) sin(3π/7)

这即是当n等于7时(*)式的平方根。因为当时在教和差化积、积化和差所以万老师是用积化和差、和差化积强行算出来的，加进了白天课上讲过的求和方法，做得很累。当然我乖乖地不明觉厉了~

前两天在中等数学（2012年增刊105页）上做到这样一道题：

求值：sin(π/2012) sin(2π/2012) … sin(2011π/2012)

这么大的数据明显在透露一个事实，此类我一直做不出来的题一定有通用的解法！激动不已去看答案，可是答案写得异常简洁，大有某田老师的风范，我等凡夫俗子如何看得懂如此意识流的跳步解答= =。请教了没有人，自己又想了半天，发现真的是惊人的好方法~

设z₁ = cos(2π/n) + i sin(2π/n).

则z₁是方程 zⁿ – 1 = 0 的一个根，z₁², z₁³, … , z₁^n-1 也是方程的根。

(z – z₁) (z – z₁²) … (z – z₁^n-1) = 1 + z + z² + … + z^n-1

左边写成根的形式，右边写成zⁿ – 1的形式，两边约去z-1.

令z = 1.

右边 = n

左边 = (1 – z₁) (1 – z₁²) … (1 – z₁^n-1)

    = |(1 – z₁) (1 – z₁²) … (1 – z₁^n-1)|

    = |(1 – z₁)| |(1 – z₁²)| … |(1 – z₁^n-1)|

下面就是答案里没有说明导致我没看懂的部分，我的方法是……画图

下证：|1 – z₁^k | = 2 sin(kπ/n), k ∈ {1, 2, 3, … , n-1}

如图，向量OA表示1，知|z₁^k | = 1，则向量AB表示z₁^k，∠OAB = ∠OAB’ = 2kπ/n

则OB’ = OA – AB, 表示1 – z₁^k

则|1 – z₁^k | = |OB’| = 2 OA sin(∠OAB/2) = 2 sin(kπ/n)

得证

∴ 左边 = 2^n-1 sin(π/n) sin(2π/n) … sin((n-1)π/n) = 右边 = n

∴ sin(π/n) sin(2π/n) … sin((n-1)π/n) = n / 2^n-1.

n / 2^n-1 即为(*)式的值

于是上面两题都迎刃而解~

又联想到增刊第2页的这样一道题：

求值：cos4° cos8° cos12° … cos88°

答案中给出了两种解法。法一是搭配，积化和差进行化简，我再一次不明觉厉= = 法二是数乘一个sin4°，然后一直应用二倍角公式和诱导公式得到结果。感觉两种方法计算量都很大，容易出错，方法也没有上面提到的漂亮。于是想办法往(*)式上靠，应用现成的结论。于是可以比较方便地得出结论。

原式 = sin2° sin6° sin10° … sin86°

   = (sin2° sin4° sin6° … sin86° sin88°) / (sin4° sin8° sin16° … sin88°)

   = √(90/2^89) / (45/2^44)

   = 1 / 2²²

哈哈~法三很棒吧~短平快吧~得意B-)