今天看到一个好玩的经典问题（定理）：一张正方形的桌子，四条腿等长，放在不平的地面上，则一定可以通过旋转把桌子放平，即四个脚都在地面上。
以下的证明参考了我在这里和这里（下文基本是介绍漏洞更少且更简单的第二种）看到的，并没有找出放平的方法，而是用中值定理证明了存在性。我不懂中值定理……所以只能更加口语化的表述一下。
原命题简化为给定的正方形ABCD的四个顶点能不能同时处于曲面上。易知可以先把A, B, C放到曲面上，这个时候图形就定死了。若D在曲面上，存在性得证。若D不在曲面上，不妨设D在曲面上方。
现在要旋转了~可以管这种方法叫……转两次（参见算两次）
第一种转法：首先让正方形在其所在平面内绕其中心转过90°，使B到原来A的位置，C到原来B的位置，D到原来C的位置，A到原来D的位置。于是就变成了B, C, D在曲面上，A在曲面上方。接下来将正方形在空间中绕BC旋转，使A落在曲面上，这时D由曲面上移动到了曲面下方。
第二种转法：使B, C, D始终位于曲面上进行旋转……这样的旋转没有固定的转轴，似乎不能算是严格的旋转，那么姑且称为运动。经过某种运动，总可以让B, C, D和第一种转法后的B, C, D的位置重合。又由于B, C, D的位置确定时，A的位置也是确定的，所以此时A在曲面下方。
在第二种转法中，A由在曲面上方移动到在曲面下方，则运动过程中必定有某一时刻A在曲面上。
但这个证明我觉得不严密，而且题干本身就没有对曲面有限定，也没有说明具体是怎么旋转的。然后我看到了推广形式（矩形）和严密的证明：这个pdf文件我看得太吃力了没怎么看懂。求教厉害的人。
其中把题干变得更加细致了。定义了“旋转”过程中矩形的中心要在一条定直线上（所以上面的证明方法就不对了），还有曲面上任意两点连线的斜率不超过√(1/2)。
不过这个问题在实际操作过程中就没什么用了。因为教室里常常遇到的情况是地板很平但是桌腿不一样长。这种情况根据实际经验……再怎么旋转也放不平，只能垫纸片啦~