通过旋转把晃动的桌子放平 The Wobbly Table Theorem

今天看到一个好玩的经典问题(定理):一张正方形的桌子,四条腿等长,放在不平的地面上,则一定可以通过旋转把桌子放平,即四个脚都在地面上。

 

以下的证明参考了我在这里和这里(下文基本是介绍漏洞更少且更简单的第二种)看到的,并没有找出放平的方法,而是用中值定理证明了存在性。我不懂中值定理……所以只能更加口语化的表述一下。

原命题简化为给定的正方形ABCD的四个顶点能不能同时处于曲面上。易知可以先把A, B, C放到曲面上,这个时候图形就定死了。若D在曲面上,存在性得证。若D不在曲面上,不妨设D在曲面上方。

现在要旋转了~可以管这种方法叫……转两次(参见算两次

第一种转法:首先让正方形在其所在平面内绕其中心转过90°,使B到原来A的位置,C到原来B的位置,D到原来C的位置,A到原来D的位置。于是就变成了B, C, D在曲面上,A在曲面上方。接下来将正方形在空间中绕BC旋转,使A落在曲面上,这时D由曲面上移动到了曲面下方。

第二种转法:使B, C, D始终位于曲面上进行旋转……这样的旋转没有固定的转轴,似乎不能算是严格的旋转,那么姑且称为运动。经过某种运动,总可以让B, C, D和第一种转法后的B, C, D的位置重合。又由于B, C, D的位置确定时,A的位置也是确定的,所以此时A在曲面下方。

在第二种转法中,A由在曲面上方移动到在曲面下方,则运动过程中必定有某一时刻A在曲面上。

 

但这个证明我觉得不严密,而且题干本身就没有对曲面有限定,也没有说明具体是怎么旋转的。然后我看到了推广形式(矩形)和严密的证明:这个pdf文件我看得太吃力了没怎么看懂。求教厉害的人。

其中把题干变得更加细致了。定义了“旋转”过程中矩形的中心要在一条定直线上(所以上面的证明方法就不对了),还有曲面上任意两点连线的斜率不超过√(1/2)。

 

不过这个问题在实际操作过程中就没什么用了。因为教室里常常遇到的情况是地板很平但是桌腿不一样长。这种情况根据实际经验……再怎么旋转也放不平,只能垫纸片啦~

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